3.4 Çoklu Puanlanan Maddeler için MTK Modelleri
Bu kısımda çoklu puanlanan maddeler için kullanılabilecek MTK modelleri ana hatları ile açıklanmıştır. Bu süreçte “kısmi puanlama modeli”, “genelleştirilmiş kısmi puanlama modeli”, “aşamalı tepki modeli” ve “sınıflamalı tepki modeli” ele alınmıştır.
3.4.1 Kısmi Puan Modeli(KPM)
Kısmi Puan Modeli (Partial Credit Model) Rash modelinin çoklu puanlanan maddeler için düzenlenmiş bir halidir (Masters, 1982). Yani Kısmi Puanlama Modelinde (KPM) madde ayırt edicilik parametresi dikkate alınmaz. KPM’de seçeneklerin sıralama düzeyinde olması gerekmektedir. KPM için olasılık fonksiyonu aşağıda sunulmuştur.
Bu fonksiyonda “θ” gizil yetenek düzeyini ifade ederken “bjh” ise bazen adım güçlüğü olarak da adlandırılan adım parametresidir. Adım parametresi h-1 seçeneğinden h seçeneğine geçmenin göreli güçlüğünü ifade eder (De Ayala, 2009). Her zaman seçenek sayısının 1 eksiği kadar adım parametresi kestirilir.
Şunun altını çizmek gerekir ki çoklu puanlanan bir madde seçenek sayısını bir eksiği kadar eğri içereceğinden, ikili puanlanan maddeler için kullandığımız “madde karakteristik eğrisi” kavramı yerine “işlem karakteristik eğrisi- İKE -”seçenek karakteristik eğrisi - SKE” veya “kategori tepki eğrisi- KTE” gibi kavramlar kullanılır. Alanyazında bu kavramlardan herhangi biri baskın kullanıma sahip olmadığı için araştırmacılar belirtilen bu kavramlardan her hangi birini kullanabilir. Biz “seçenek karakteristik eğrisi- SKE” kavramını kullanmayı tercih ettik.
Aşağıda “mirt” paketinde yer alan “Science” veri seti üzerinde KPM’ye göre madde kestirim süreci ana hatları ile örneklendirilmiştir. İkili puanlanan maddelerde kullandığımız aynı fonksiyonlardan ve argümanlardan faydalanırız. KPM Rasch temelli bir model olduğu için “itemtype” argümanı olarak “Rasch” yazarız. Diğer argümanlara ikili puanlanan maddeler için yapılan açıklamalarda değinildiği için burada detaylı bir şekilde yer verilmemiştir.
library(mirt)
kpm.uyum<- mirt( data=Science, model=1, itemtype = "Rasch", SE=TRUE, verbose = FALSE)
kpm.param<- coef(kpm.uyum, IRTpars=TRUE, simplify=TRUE)
kpm_madde<-as.data.frame(kpm.param$items)
print(kpm_madde)## a b1 b2 b3
## Comfort 1 -3.088368 -2.5954959 1.388894
## Work 1 -1.896642 -0.9109921 1.858937
## Future 1 -2.647953 -1.4213466 1.135323
## Benefit 1 -2.449472 -0.8998510 1.358179Çıktıda görüldüğü gibi seçenek sayısının 1 eksiği kadar adım parametresi kestirilmiştir. Daha önce de belirtildiği gibi KPM Rasch temelli bir model olduğu için ayırt edicilik parametresi 1’e sabitlenmiştir.
İkili puanlanan maddelerde olduğu gibi çoklu puan maddeler için de madde karakteristik eğrileri ve madde bilgi fonksiyonları “plot” fonksiyonu içerisindeki “type” argümanını düzenleyerek elde edilir. Ancak daha öncede belirtildiği gibi çoklu puanlanan maddeler için “seçenek karakteristik eğrisi” ve “seçenek bilgi fonksiyonu” kavramlarını kullanacağız. “trace” ifadesi seçenek karakteristik eğrisi için, “infotrace” ifadesi ise seçenek bilgi fonksiyonlarını elde etmek için kullanılır. Fonksiyon içerisinde yer alan “lty” argümanı adım parametrelerini gösteren çizgilerin türünü (kesikli, düz vb.),“lwd” argümanı ise çizgilerin kalınlığını belirler. “type” argümanını “info” olacak şekilde düzenlersek test bilgi fonksiyonunu oluşturabiliriz. Bu argümanı (“type”) “infoSE” şeklinde düzenlersek test bilgi fonksiyonu ile birlikte standart hata çizgisini grafiğe ekleyebiliriz.
plot(kpm.uyum, type = "trace", par.settings = simpleTheme(lty = 1:4, lwd = 2),
auto.key = list(points = FALSE, lines = TRUE, columns = 4))
3.4.2 Genelleştirilmiş Kısmi Puan Modeli(GKPM)
Genelleştirilmiş kısmi puan modeli (Generalized Partial Credit Model- GPCM) adından da anlaşılacağı üzere kısmı puan modelinin özel bir halidir. GKPM seçenek karakteristik eğrisinin 2PL modele uygun olacak şekilde yeniden düzenlenmesini içerir. Başka bir ifade de ile olasılık fonksiyonu içerisine ayırt edicilik indeksi de dahil edilerek bu parametrenin maddeler arasında farklılaşmasına olanak tanınır (Muraki,1992). GKPM’ye ilişkin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir;
Yukarıdaki eşitlikte görüldüğü gibi GKPM’nin KPM’den tek farkı ayırt edicilik parametresinin (aj) yer almasıdır. Bazı araştırmacılar çoklu puanlanan maddelerde “a” parametresi için “ayırt edicilik” isminin kullanımını uygun bulmamaktadırlar. Genellikle “eğim parametresi” veya “a parametresi” kavramlarını tercih etmektedirler (Embrestson & Reise, 2000). Ancak Demars (2010) çoklu puanlanan maddelerde “a” parametresi için “ayırt edicilik parametresi” kavramının kullanımının daha yaygın olduğunu vurgulamıştır. Aşağıda “mirt” paketinde yer alan “Science” veri seti üzerinde GKPM’ye göre madde parametresi kestirim süreci ana hatları ile örneklendirilmiştir. KPM’den tek farklı “itemtype” argümanını “gpcm” olacak şekilde değiştirilmesidir.
library(mirt)
gkpm.uyum<- mirt( data=Science, model=1, itemtype = "gpcm", SE=TRUE, verbose = FALSE)
gkpm.param<- coef(gkpm.uyum, IRTpars=TRUE, simplify=TRUE)
gkpm_madde<-as.data.frame(gkpm.param$items)
print(gkpm_madde)## a b1 b2 b3
## Comfort 0.8653441 -3.271390 -2.8815889 1.532899
## Work 0.8408577 -2.034286 -1.0319682 2.058017
## Future 2.2040908 -2.087159 -0.9791158 0.835254
## Benefit 0.7238732 -2.899527 -1.1051558 1.626952Çıktıda görüldüğü gibi seçenek sayısının 1 eksiği kadar b parametresi üretilmiştir. KPM’den farklı olarak “a” parametresi maddeler arasında farklılık göstermektedir. GKPM’de grafik oluşturma süreci içinde “mirt” fonksiyonu önceki modellerde olduğu gibi kullanılır. Bu nedenle detaylı açıklamalara yer verilmemiş ve çıktılar sunulmamıştır. Aşağıda grafik oluşturmada kullanılabilecek “mirt” paketine ilişkin fonksiyonlar verilmiştir.
plot(gkpm.uyum, type = "trace", par.settings = simpleTheme(lty = 1:4, lwd = 2),
auto.key = list(points = FALSE, lines = TRUE, columns = 4))
3.4.3 Aşamalı Tepki Modeli (ATM)
Aşamalı tepki modeli (Graded Response Model - GRM) 2PL modelin çoklu puanlanan maddelerde kullanılabilecek şekilde genişletilmiş halidir (Samejina, 1969). KPM ve GKPM’de bireyin bir maddeye vereceği yanıt h seçeneği ile h-1 seçeneği arasındaki karşılaştırmalar neticesinde elde edilmekteydi. Aşamalı tepki modelinde ise (ATM) seçenekler arasında birikimli karşılaştırmaların yapılması söz konusudur. Yani KPM ve GKPM’de olduğu gibi 0 – 1; 1 – 2; 2 – 3 karşılaştırması değil; 0 – 1, 2, 3; 0, 1 – 2, 3; 0, 1, 2 – 3 karşılaştırması yapılmaktadır. (Aybek, 2016). Bu nedenle ATM “birikimli lojit model” (cumulative logit model) olarak da adlandırılmaktadır. ATM’de kategori eşiği bir kategoride veya o kategorinin daha üzerinde puan alma olasılığının %50 olduğu yerdir. GKPM’de ise a kategori adım güçlüğü birbirine komşu iki kategorinin seçilme olasılıklarının eşit olduğu yerdir. ATM’de b parametresi eşikler olarak adlandırılır. (Demars, 2010). ATM’ye ilişkin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir.
Fonksiyon incelendiğinde daha önce ele aldığımız 2PL modele çok benzediği görülecektir. Hatırlanacağı gibi 2PL modelde bireyin maddeye doğru yanıt verme olasılığı hesaplanıyordu. ATM’de ise eşik değerinden yüksek ya da düşük yanıt verme olasılığı hesaplanır. Aşağıda “mirt” paketinde yer alan “Science” veri seti üzerinde GKPM’ye göre madde parametresi kestirim süreci ana hatları ile örneklendirilmiştir. Önceki modellerden tek farklı “itemtype” argümanını “graded” olacak şekilde değiştirilmesidir.
library(mirt)
atm.uyum<- mirt( data=Science, model=1, itemtype = "graded", SE=TRUE, verbose = FALSE)
atm.param<- coef(gkpm.uyum, IRTpars=TRUE, simplify=TRUE)
atm_madde<-as.data.frame(atm.param$items)
print(atm_madde)## a b1 b2 b3
## Comfort 0.8653441 -3.271390 -2.8815889 1.532899
## Work 0.8408577 -2.034286 -1.0319682 2.058017
## Future 2.2040908 -2.087159 -0.9791158 0.835254
## Benefit 0.7238732 -2.899527 -1.1051558 1.626952ATM’de grafik oluşturma süreci içinde “mirt” fonksiyonu önceki moddellerde olduğu gibi kullanılır. Bu nedenle detaylı açıklamalara yer verilmemiş ve çıktılar sunulmamıştır. Aşağıda grafik oluşturmada kullanılabilecek “mirt” paketine ilişkin fonksiyonlar verilmiştir.
3.4.4 Sınıflamalı Tepki Modeli(STM)
Sınıflamalı tepki modeli (Nominal Response Model - NRM) yapı itibari ile diğer çoklu puanlanan maddeler için sunulan MTK modellerinden farklıdır. Öncelikli olarak sınıflama düzeyindeki seçeneğe sahip maddeler için kullanılabilir. Başka bir ifade ile çoklu puanlanan bir maddenin seçenekleri veya kategorileri arasında sıralamaya dayalı bir ilişki olmadığı durumlarda STM’nin kullanımı uygun olacaktır. STM’nin bu özelliği sınıflama düzeyinde seçeneklere sahip olan çok seçmeli maddelerin modellenesine olanak tanımaktadır (Block, 1972, Embrestson & Reise, 2000). STM’de belirli bir seçeneğin diğer şeçeneklere kıyasla işaretlenme olasılığını kestirmeyi amaçlar. Bu nedenle her bir seçenek veya yanıt kategorisi ayrı güçlük ve ayırt edicilik parametrelerine sahiptir. STM’ye ilişkin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir;
STM’de madde parametrelerine ilişkin iki sınırlama söz konusudur. Bunlardan birincisi madde ayırt edicilik parametrelerinin toplamının sıfıra eşit olmasıdır. Diğeri ise madde güçlük parametresinin toplamının sıfıra eşit olmasıdır. Şunun altını çizmek önemlidir ki STM’de madde güçlük parametresi ikili puanlanan maddeler için MTK modellerindeki güçlük parametresinden ve çoklu puanlanan maddeler için MTK modellerindeki adım/eşik parametrelerinden daha farklı ele alınır. (Desjardins & Bulut, 2018). De Ayala (2009)’un vurguladığı gibi STM’de madde güçlük parametresi yanıtlayıcının belirli bir seçeneği veya yanıt kategorisini seçmeye yönelik eğilimi olarak ele alınabilir. Bir seçeneğin ayırt edicilik paramteresi ne kadar yüksekse ölçülen gizil yapı ile o kadar ilişkili olduğu yorumu yapılabilir. Örneğin çoktan seçmeli bir maddede doğru yanıtın en yüksek ayırt ediciliğe (pozitif yönde) sahip olması beklenir ve bu seçenek ölçülen gizil yapı ile doğrudan ilişkilidir. GKPM’ye göre madde parametresi kestirim süreci ana hatları ile örneklendirilmiştir. KPM’den tek farklı “itemtype” argümanını “nominal” olacak şekilde değiştirilmesidir.
library(mirt)
stm.uyum <- mirt(data=Science, model=1, itemtype = "nominal", SE = TRUE, verbose = FALSE)
stm.param <- coef(stm.uyum, IRTPars=TRUE, simplify=TRUE)
stm_madde <- as.data.frame(stm.param$items)
print(stm_madde)## a1 ak0 ak1 ak2 ak3 d0 d1 d2 d3
## Comfort 1.0079613 0 1.5406116 1.998886 3 0 3.639055 5.905385 4.5327322
## Work 0.8407997 0 0.6890400 1.500479 3 0 1.463704 2.326133 0.3254606
## Future 2.0407429 0 0.7615371 1.861036 3 0 3.667816 5.867543 3.9489050
## Benefit 0.7790351 0 1.0362424 1.741936 3 0 2.144181 2.910805 1.6206973Çıktıda görüldüğü gibi her bir seçenek için ayırt edicilik (a) ve madde güçlük (c) paramtreleri üretilmiştir. “mirt” paketinin çıktılarında STM için madde güçlük parametresi (daha doğru bir ifade ile yanıtlayıcının bir seçeneği işaretlemeye yönelik eğilimi) “c” sembolü ile ifade edilir. Analizlerde örnek olarak kullandığımız “Science” veri setinin bir çoktan seçmeli test olduğunu varsayarsak, örneğin “Future” isimli maddenin dördüncü seçeneğine ilişkin ayırt edicilik (3.25) en yüksek olduğu için o seçeneğin doğru yanıt olduğunu söyleyebiliriz.
Hatırlanacağı gibi STM’de iki önemli sınırlama olduğu belirtilmiştir. Bunlar seçeneklere ilişkin madde güçlük ve ayırt edicilik parametrelerinin kendi aralarındaki toplamlarının sıfır değerine eşit olmasıydı. Şimdi bunu test edelim. Örnek olması için birinci maddenin madde güçlük ve ayırt edicilik düzeylerinin kendi aralarındaki toplamlarını elde edelim.
## [1] 5## [1] 13Görüldüğü gibi STM’de yer alan sınırlandırmalara uygun olarak güçlük ve ayrıt edicilik parametrelerinin kendi aralarındaki toplamı sıfır değerine eşittir. Aşağıda STM’de grafik oluşturmada kullanılabilecek “mirt” paketine ilişkin fonksiyonlar verilmiştir. “plot” fonksiyonunun kullanımı önceki modellerdekine çok benzerdir. Bu nedenle detaylı açıklamalara yer verilmemiştir.
plot(stm.uyum, type = "trace", par.settings = simpleTheme(lty = 1:4, lwd = 2),
auto.key = list(points = FALSE, lines = TRUE, columns = 4))
Çoklu puanlanan maddeler için başka MTK modelleri de mevcuttur. Bunlardan “Derecelendirme Ölçeği Modeli (Rating Scale Model) aynı KPM gibi Rasch modeline dayalıdır. Ayrıca aynı STM gibi çoktan seçmeli maddeler için kullanılabilecek bir model olan”Yuvalanmış Lojit Model” (Nested Logit Model) mevcuttur (Bolt, 2010). Yuvalanmış lojit model’in 3PL modele uygun olarak kestirim yapmaya uygun olan özelleştirilmiş türevleri de mevcuttur (Desjardins & Bulut, 2018).